УДК 621.43.011

АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ

№16,

Технические науки

Королев Александр Егорович (Кандидат технических наук)

Ключевые слова: ТЕХНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА; ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСТИ; МЕТОДЫ РАСЧЕТА; СОГЛАСОВАННОСТЬ; АНАЛИЗ; TECHNICAL SYSTEM; RELIABILITY INDICATORS; CALCULATION METHODS; COHETENCE; ANALYSIS.

Аннотация: В статье рассматриваются методы расчета параметров распределения случайных величин. Представлены методики обработки исходной информации. Показаны на примере результаты определения коэффициентов математической модели. Выполнена оценка степени совпадения экспериментальных и теоретических закономерностей. Дан анализ применяемости существующих вычислительных методов.

Задача теории надёжности, в частности, состоит в изучении критериев и количественных характеристик технических объектов [1]. При этом с точки зрения теории и практики оценки надёжности механических систем важным является применение точных и достоверных методов расчета показателей, которые базируются на вероятностно-статистических моделях. При обработке статистической информации устанавливается закон распределения случайной величины. Точное определение параметров распределения невозможно, можно выявить только их оценки[2]. Для этой цели используются различные методы: моментов, максимального правдоподобия, квантилей и преобразований [3]. Непрогнозируемые отказы в большинстве случаев подчиняются закону Вейбулла [4], дифференциальная функция распределения которого имеет вид:

,

где a и b — параметры распределения.

Первые два метода основаны на решении системы нелинейных уравнений.

Метод моментов:

где — среднее значение показателя надёжности;
σ — среднее квадратическое отклонение;
Г — гамма-функция.

Метод максимального правдоподобия:

Метод квантилей заключается в том, что эмпирические квантили приравнивают к теоретическим и составляют уравнения по количеству параметров. В данном случае для двухпараметрического распределения:

,

где H(t) — квантиль распределения.

Следует отметить нестабильность этого метода, поскольку результат расчета зависит от выбора t1, t2 и соответствующих вероятностей. Для оценки представленных методов далее использованы данные, полученные на основе эксплуатационных наблюдений за 41 отремонтированным двигателем Д-240 [5]. Установлены следующие параметры распределения: метод моментов — a = 2273, b = 2,61; метод максимального правдоподобия — a = 2401, b = 2,78; метод квантилей — a = 2334, b = 2,69. В последнем методе для получения функций распределения применяются преобразования. Лапласа. В качестве показателя безотказности используется параметр потока отказов, который в данном случае имеет вид: . Вначале определяется частота отказов из выражения:

.

Далее преобразованная дифференциальная функция:

.

Эти соотношения позволяют найти одну характеристику посредством другой. Затем вычисляются коэффициенты характеристических уравнений. После обратного преобразования получаем эмпирическую дифференциальную функцию: . Расчетами установлены аппроксимирующие зависимости (рис. 1).


Рисунок 1. Вероятность безотказной работы двигателей по методам расчета: 1 — моментов, 2 — максимального правдоподобия, 3 — квантилей, 4 — преобразований

Степень совпадения распределений оценивается критерием Пирсона, который характеризует отклонения опытных mэi и теоретических mтi частот отказов (табл. 1):

где n – число интервалов статистического ряда.

Таблица 1.

Распределение частот отказов

Наработка,

моточ.

Частота отказов по методам расчёта

экспериментальный

моментов

максимального правдоподобия

квантилей

преобразований
350

1050

1750

2450

3150

3850

4550

 0

10

14

12

2

2

1

 0,3

4,8

12,5

14,8

9,2

3,1

0,6

 0,2

3,7

11,2

15,1

10,4

3,7

0,7

 0,3

4,3

11,9

15,0

9,8

3,4

0,6

 9,4

8,2

7,0

5,8

4.6

3,4

2,2

Результаты оценки соответствия математических моделей экспериментальным данным приведены в табл. 2.

Таблица 2.

Степень совпадения опытных и теоретических данных

Метод расчета

Критерий согласия

Степень согласия, %

Средний ресурс
1. Моментов

2. Максимального правдоподобия

3. Квантилей

4. Преобразований

 1,3

2,0

 

1,6

2,4

 71

55

 

63

47

 2023

2279

 

2382

1921

Наилучший результат дает метод моментов. Погрешность расчетов предопределяется методикой их выполнения. В методе максимального правдоподобия решается сложная система неявных уравнений, из которых вычисляются коэффициенты поэтапным подбором. При методе квантилей выбираются только две произвольные точки исходных данных, что приводит к случайной ошибке расчета параметров. Метод преобразований основывается на экспоненциальной зависимости, это является частным случаем распределения отказов. Средний ресурс по опытным данным составил 2051 мото-часов, т.е. наименьшее отклонение от него также при методе моментов. Таким образом, выбор метода расчета параметров случайных распределений зависит от вида, объёма и области применения полученной информации.

Список литературы

  1. Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям / Р.Н. Вадзинский. — СПб.: Наука, 2001. — 295 с.
  2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. — М.: Высшая школа, 2006. — 575 с.
  3. Халафян, А.А. Статистический анализ данных / А.А. Халафян. — М.: ООО «Бином-Пресс», 2008. — 512 с.
  4. Агамиров Л.В. Методы статистического анализа механических испытаний / Л. В. Агамиров. — М.: «Интермет Инжиниринг», 2004, с.127.
  5. Королев А.Е. Функционирование восстанавливаемой технической системы / А.Е. Королев // News of Science and Education. -2017. — Т.3. — №7. — С. 36-42.