ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАССЫ И ПОЛУЧЕНИЕ ЕГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
№11,
Физико-математические науки
Гильманов Салават Ахатович (Кандидат физико-математических наук)
Ключевые слова: ПОТОК; ЖИДКОСТЬ; НЕРАЗРЫВНОСТЬ; УРАВНЕНИЕ; FLOW; LIQUID; CONTINUITY; EQUATION.
Законы сохранения в нашей вселенной являются одним из ограничений, накладываемых на все физические процессы. Они получены как обобщение множества наблюдений, результатов опытов, озарения. Одним из основных фундаментальных законов сохранения является закон сохранения массы. Рассмотрим один из подходов, при помощи которых можно будет записать этот закон в виде дифференциального уравнения в частных производных.
Основные понятия. Введем функцию [latex]\rho=\rho(\overrightarrow{r},t)[/latex] как массу элементарного (единичного) объема [latex]dV[/latex]. В общем случае [latex]\overrightarrow{r}=x_{1}\overrightarrow{e}_{1}+x_{2}\overrightarrow{e}_{2}+x_{3}\overrightarrow{e}_{3}[/latex]– радиус-вектор объема [latex]dV[/latex]. Здесь [latex]\overrightarrow{e}_{i}[/latex]– единичные орты соответствующих координатных осей. Элементарный объем в трехмерной декартовой системе координат будет представлен выражением [latex]dV=dx_{1}\cdot dx_{2}\cdot dx_{3}[/latex]. Формой элементарного объема в данном случае будет параллелепипед со сторонами [latex]dx_{1}[/latex], [latex]dx_{2}[/latex] и [latex]dx_{13}[/latex]. Вектором [latex]\overrightarrow{\upsilon}=\upsilon_{1}\overrightarrow{e}_{1}+\upsilon_{2}\overrightarrow{e}_{2}+\upsilon_{3}\overrightarrow{e}_{3}[/latex] обозначим скорость жидкости, протекающей через элементарный объем, а вектором [latex]\overrightarrow{a}=a_{1}\overrightarrow{e}_{1}+a_{2}\overrightarrow{e}_{2}+a_{3}\overrightarrow{e}_{3}[/latex] – ускорение. Согласно определению скорости и ускорения из курса механики [1] имеем: [latex]\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{\upsilon}}{dt}[/latex], [latex]\overrightarrow{\upsilon}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}[/latex].
Рис.1. Схема элемента объема в декартовой системе координат с указанием радиус-вектора, векторов скорости и ускорения.
Для получения дифференциального уравнения закона сохранения массы рассмотрим баланс массы через объем [latex]dV[/latex]. Пусть задняя и передняя грани элементарного объема имеют абсциссы [latex]x_{1}-\frac{1}{2}x_{1}[/latex] и [latex]x_{1}+\frac{1}{2}x_{1}[/latex], левая и правая грани соответственно – [latex]x_{2}-\frac{1}{2}x_{2}[/latex] и [latex]x_{2}+\frac{1}{2}x_{2}[/latex], а нижняя и верхняя – [latex]x_{3}-\frac{1}{2}x_{3}[/latex] и [latex]x_{3}+\frac{1}{2}x_{3}[/latex]. Для определенности положим, что поток через этот объем втекает через заднюю, левую и нижнюю грани, а вытекает соответственно через переднюю, правую и верхнюю грани элементарного объема [latex]dV[/latex]. Масса жидкости, втекающей через заднюю грань за отрезок времени [latex]dt[/latex], определится выражением [latex]\rho dx_{2} dx_{3}\upsilon_{1} dt|_{x_{1}-\frac{1}{2}x_{1}}[/latex], аналогично для левой и нижней граней будем иметь [latex]\rho dx_{1} dx_{3}\upsilon_{2} dt|_{x_{2}-\frac{1}{2}x_{2}}[/latex] и [latex]\rho dx_{1} dx_{2}\upsilon_{3} dt|_{x_{3}-\frac{1}{2}x_{3}}[/latex]. Примем все втекающие величины со знаком «плюс», а все вытекающие – со знаком «минус». Тогда для передней, правой и верхней граней элементарного объема получим [latex]-\rho dx_{2} dx_{3}\upsilon_{1} dt|_{x_{1}+\frac{1}{2}x_{1}}[/latex], [latex]-\rho dx_{1} dx_{3}\upsilon_{2} dt|_{x_{2}+\frac{1}{2}x_{2}}[/latex] и [latex]-\rho dx_{1} dx_{2}\upsilon_{3} dt|_{x_{3}+\frac{1}{2}x_{3}}[/latex] соответственно. Согласно балансу массы в том случае, когда отсутствуют источники и стоки жидкости сумма всех вышеперечисленных слагаемых будет равна изменению массы жидкости в элементарном объеме и будет определяться выражением [latex]\rho dx_{1} dx_{2} dx_{3}|_{t+dt}-\rho dx_{1} dx_{2} dx_{3}|_{t}[/latex].
Записывая все элементы баланса массы, получим
[latex]\rho dx_{2} dx_{3}\upsilon_{1} dt|_{x_{1}-\frac{1}{2}x_{1}}+\rho dx_{1} dx_{3}\upsilon_{2} dt|_{x_{2}-\frac{1}{2}x_{2}}+\rho dx_{1} dx_{2}\upsilon_{3} dt|_{x_{3}-\frac{1}{2}x_{3}}-[/latex] [latex]\rho dx_{2} dx_{3}\upsilon_{1} dt|_{x_{1}+\frac{1}{2}x_{1}}-\rho dx_{1} dx_{3}\upsilon_{2} dt|_{x_{2}+\frac{1}{2}x_{2}}-\rho dx_{1} dx_{2}\upsilon_{3} dt|_{x_{3}+\frac{1}{2}x_{3}}=[/latex] [latex]\rho dx_{1} dx_{2} dx_{3}|_{t+dt}-\rho dx_{1} dx_{2} dx_{3}|_{t}[/latex] (1.1)
Разделим полученное выражение (1.1) на величину [latex]dx_{1} dx_{2} dx_{3} dt[/latex] и перенесем все слагаемые с левой стороны равенства на правую, тогда получим
[latex]\frac{\rho|_{t+dt}-\rho_{t}}{dt}+\frac{\rho\upsilon_{1}|_{x_{1}+\frac{1}{2}x_{1}}-\rho\upsilon_{1}|_{x_{1}-\frac{1}{2}x_{1}}}{dx_{1}}+\frac{\rho\upsilon_{2}|_{x_{2}+\frac{1}{2}x_{2}}-\rho\upsilon_{2}|_{x_{2}-\frac{1}{2}x_{2}}}{dx_{2}}+\frac{\rho\upsilon_{3}|_{x_{3}+\frac{1}{2}x_{3}}-\rho\upsilon_{3}|_{x_{3}-\frac{1}{2}x_{3}}}{dx_{3}}=0[/latex] (1.2)
Устремив величины [latex]dx_{1}[/latex], [latex]dx_{2}[/latex], [latex]dx_{3}[/latex], [latex]dt[/latex] к нулю и воспользовавшись определением частной производной, получаем
[latex]\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial\rho\upsilon_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial\rho\upsilon_{2}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial\rho\upsilon_{3}}{\partial x_{3}}=0[/latex] (1.3)
Полученное уравнение представляет собой дифференциальную форму закона сохранения массы и носит название уравнения неразрывности. Введем в рассмотрение вектор плотности потока [latex]\overrightarrow{j}=\rho\upsilon_{1} \overrightarrow{e}_{1}+\rho\upsilon_{2}\overrightarrow{e}_{2}+\rho\upsilon_{3}\overrightarrow{e}_{3}[/latex], тогда уравнение неразрывности можно представить в виде
[latex]\frac{\partial\rho}{\partial t}+div\overrightarrow{j}=0[/latex] (1.4)
В основном при решении конкретных задач рассматриваются задачи меньшей мерности. Поэтому далее рассмотрим только квазиодномерные потоки. Для такого случая, опуская индексы для удобства, уравнение неразрывности может быть записано в виде:
[latex]\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial\rho\upsilon}{\partial x}=0[/latex] (1.5)
Рассмотрим случай, когда баланс массы может быть описан уравнением (1.5). Это может быть движение волны на побережье, например, волна цунами, ширина которой намного больше, чем высота волны. Такое движение можно рассматривать как движение тонкого слоя жидкости. В случае такого движения по горизонтальной поверхности поток будет ограничен по вертикали. Подстилающая поверхность в общем случае может быть функцией координат и реже времени. Верхняя граница потока ограничивается некоторым газом, в частности атмосферой. Такие ограничения приводят к тому, что вводится высота или глубина потока. Обозначим ее через [latex]h(x,y,t)[/latex].
Для дальнейшего вывода уравнения неразрывности применим гипотезу мелкой воды. Ее суть заключается в том, что из-за того, что вертикальные размеры системы пренебрежимо малы по сравнению с ее горизонтальными размерами, пренебрегают вертикальными движениями [latex]l_{z}<<l_{x}\rightarrow \upsilon_{z}<<\upsilon_{x}, a_{z}<<a_{x}[/latex]. Согласно исследованиям [2], полученные с учетом указанных пренебрежений, уравнения сохранения массы являются справедливыми и в случаях, когда требования мелкой воды не выполняются.
Рис.2. Схематичное представление тонкого слоя жидкости.
В первых, отсутствует поток массы через верхнюю и нижнюю грани элементарного объема, во-вторых, заменяем высоту элементарного объема на [latex]h(x,y,t)[/latex]. В этом случае выражение примет вид
[latex]\rho dx_{2} h \upsilon_{1} dt|_{x_{1}-\frac{1}{2}x_{1}}+\rho dx_{1} h \upsilon_{2} dt|_{x_{2}-\frac{1}{2}x_{2}}-[/latex] [latex]\rho dx_{2} h \upsilon_{1} dt|_{x_{1}+\frac{1}{2}x_{1}}-\rho dx_{1} h \upsilon_{2} dt|_{x_{2}+\frac{1}{2}x_{2}}=[/latex] [latex]\rho dx_{1} dx_{2} h|_{t+dt}-\rho dx_{1} dx_{2} h|_{t}[/latex] (1.6)
Сразу видно, что количество переменных в уравнении снизилось на единицу (снялась зависимость от вертикальной координаты. Разделим полученное выражение на величину [latex]dx_{1} dx_{2} dt[/latex] и перенесем все слагаемые с левой стороны неравенства на правую, тогда получим
[latex]\frac{\rho h|_{t+dt}-\rho_{t} h}{dt}+\frac{\rho h \upsilon_{1}|_{x_{1}+\frac{1}{2}x_{1}}- \rho h \upsilon_{1}|_{x_{1}-\frac{1}{2}x_{1}}}{dx_{1}}+\frac{\rho h \upsilon_{2}|_{x_{2}+\frac{1}{2}x_{2}}-\rho h \upsilon_{2}|_{x_{2}-\frac{1}{2}x_{2}}}{dx_{2}}=0[/latex] (1.7)
Устремив величины [latex]dx_{1}[/latex], [latex]dx_{2}[/latex], [latex]dt[/latex] к нулю и воспользовавшись определением частной производной, получаем
[latex]\frac{\partial\rho h}{\partial t}+\frac{\partial\rho h \upsilon_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial\rho h \upsilon_{2}}{\partial x_{2}}=0[/latex] (1.8)
Получено уравнение неразрывности для тонкого слоя жидкости с учетом гипотезы мелкой воды. Это уравнение содержит столько же неизвестных функций, сколько содержит уравнение неразрывности (1.3). В случае одномерного потока, параллельного самому себе (течение в прямоугольном канале), опуская индексы при функциях и переменных, получим
[latex]\frac{\partial\rho h}{\partial t}+\frac{\partial\rho h \upsilon}{\partial x}=0[/latex] (1.9)
Такое уравнение может описывать истечение жидкости при наличии распределенного линейного источника. Примером такого источника может служить некоторая горизонтальная щель, из которой вытекает жидкость.
Список литературы
- Савельев И. В. Курс общей физики: Учебное пособие в 3-х тт. Т.1. Механика. Молекулярная физика. 4-е изд., стер. – СПб.:Издательство «Лань», 2005. – 432 с.
- Гильманов С.А., Ишмухаметова А.А. Моделирование разливов нефти при разрушении трубопровода в процессе транспортировки // Альтернативные источники энергии в транспортно-технологическом комплексе: проблемы и перспективы рационального использования. – 2015. – Т. 2. № 1. – С. 174–177.