УДК 37

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ В ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

№17,

Педагогические науки

Костина Евгения Андреевна
Костина Наталья Николаевна (Кандидат физико-математических наук)

Ключевые слова: ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ; АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ; ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО; КОНФОРМНАЯ МОДЕЛЬ ПЛОСКОСТИ ЛОБАЧЕВСКОГО; HYPERBOLIC GEOMETRY; ASYMPTOTIC POLYGONS, THE MOVEMENT OF THE LOBACHEVSKY PLANE; CONFORMAL MODEL OF THE LOBACHEVSKY PLANE.

Аннотация: В работе предлагается способ применения инвариантов дробно-линейного отображения для исследования изометричности асимптотических многоугольников (многоугольников с бесконечно-удалёнными вершинами) на плоскости Лобачевского.

При изучении теории функций комплексного переменного полезно в абстрактных задачах конформные отображения областей при дробно-линейных преобразованиях интерпретировать как изометрические преобразования гиперболической плоскости. Именно так и получил конформную модель геометрии Лобачевского Анри Пуанкаре. Это придаст дополнительную мотивацию студентам для освоения изучаемого раздела математики и позволит им применять как аналитические, так и синтетические методы. Проиллюстрируем сказанное на примере задачи о равенстве асимптотических многоугольников на плоскости Лобачевского. Под асимптотическим многоугольником будем понимать несамопересекающийся многоугольник гиперболической плоскости, смежные стороны которого параллельны. Любые два таких n-угольника с одинаковым числом сторон имеют одинаковую площадь, наибольшую для площадей n-угольников данной гиперболической плоскости, т.е. гиперболической плоскости с данным значением кривизны.

Движения первого рода плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в полуплоскости задаются дробно-линейными подстановками комплексной переменной и вещественными коэффициентами с положительным детерминантом. Если в формулах, задающих движения первого рода, заменить комплексную переменную на сопряжённую и потребовать, чтобы детерминант был отрицательным, то получим движения второго рода.

Известно, что двойное отношение 4-х комплексных чисел является инвариантом дробно-линейных преобразований.

Абсолют плоскости Лобачевского в данной модели – ось абсцисс в объединении с несобственной точкой. Три точки А,В,С абсолюта могут перейти в любые три другие точки абсолюта, поэтому любые два асимптотических многоугольника изометричны. Четыре точки A,B,C,D могут перейти только в такие четыре точки A’,B’,C’,D’, что сохраняется их сложное отношение: (AB,CD)=(A’B’,C’D’). При этом диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD перейдут в диагонали A’C’ и B’D’ четырёхугольника A’B’C’D’ и величина угла между диагоналями сохранится. Это внутренняя характеристика изометричности асимптотических четырёхугольников, не зависящая от свойств модели. Углы между диагоналями сохраняются по свойству движений: любое движение сохраняет расстояния между точками и величины углов. Это позволяет синтетически (без обращения к координатам) получить критерий изометричности.

Пусть нам даны два асимптотических четырёхугольника ABCD и A’B’C’D’, E и E’ – точки пересечения их диагоналей. Два асимптотических треугольника АВС и A’B’C’ – изометричны. В модели Пуанкаре они совмещаются дробно-линейным преобразованием. Без обращения к модели это можно показать так: выберем по одной стороне АС и A’C’ у треугольников АВС и A’B’C’ и совместим движением эти стороны и полуплоскости. Затем сдвигом вдоль совмещённых сторон совмещаем остальные стороны (т.е. совмещаем бесконечно удалённые вершины В и B’). Диагональ BD пересекает диагональ АС под ориентированным углом ВЕА. Прямая, проходящая через точку В под таким углом к стороне АС, определяется однозначно. Если у четырёхугольника A’B’C’D’ в пересечении угол тот же, то четырёхугольники ABCD и A’B’C’D’ совмещаются движением. В противном случае – нет. Если в модели Пуанкаре три точки АВС абсолюта заданы, то на абсолюте найдётся единственная точка D, такая, что двойное отношение (AB,CD)=k (фиксированному числу). Отсюда следует, что асимптотические четырёхугольники изометричны тогда и только тогда, когда равны указанные выше двойные отношения. Модель Пуанкаре конформна, углы в ней изображаются в натуральную величину. Отсюда ещё раз следует, что у изометричных четырёхугольников соответствующие углы между диагоналями равны.

Список литературы

  1. Антропова Г.Р., Матвеев С.Н., Сиразов Ф.С. О реализации информационных технологий в преподавании геометрии // В сборнике: Российское математическое образование в XXI веке: Материалы XXXVII Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов. – Набережные Челны, 2018. С. 180 – 183.
  2. Костин А.В., Костина Н.Н. Использование задач по геометрии Лобачевского при подготовке будущих учителей //В сборнике: Физико-математическое образование: проблемы и перспективы. Материалы II Всероссийской научно-практической конференции, посвященной году Н.И.Лобачевского. 2017. – С. 38-40.
  3. Сиразов Ф.С., Костина Н.Н. О применении системы компьютерной математики MAXIMA при изучении геометрии Лобачевского // Высшее образование сегодня. 2014. №6. С. 63-67.